Differentiate tan⁻¹(√(1-x²)/x) with respect to cos⁻¹(2x√(1-x²)), where x≠0.

Let u = tan⁻¹[√(1-x²)/x]
Put x = cosθ
u = tan⁻¹[√(1-cos²θ)/cosθ] ⇒ u = tan⁻¹[sinθ/cosθ] ⇒ u = tan⁻¹[tanθ] ⇒ u = θ ⇒ u = cos⁻¹x ⇒ du/dx = -1/√(1-x²)
Let v = cos⁻¹[2x√(1-x²)]
Put x = sinθ
So, v = cos⁻¹[2sinθ√(1-sin²θ)] ⇒ v = cos⁻¹[2sinθcosθ] ⇒ cos⁻¹[sin2θ] ⇒ cos⁻¹[cos(π/2 - 2θ)] ⇒ v = π/2 - 2θ ⇒ v = π/2 - 2sin⁻¹x ⇒ dv/dx = -2/√(1-x²)
Now, du/dv = (du/dx) × (dx/dv) = (-1/√(1-x²)) × (-√(1-x²)/2) = 1/2