Evaluate: ∫π/40 (sinx+cosx)/(16+9sin2x) dx

Let I = ∫π/4 0 (sinx+cosx)/(16+9sin2x) dx
sin2x = 2sinxcosx ⇒ 1 - sin2x = 1 - 2sinxcosx ⇒ 1 - sin2x = (sinx - cosx)^2 ⇒ sin2x = 1 - (sinx - cosx)^2
⇒ 9sin2x = 9 - 9(sinx - cosx)^2 ⇒ 16 + 9sin2x = 25 - 9(sinx - cosx)^2
∴ I = ∫π/4 0 (sinx+cosx)/[25 - 9(sinx - cosx)^2] dx
Let t = 3(sinx - cosx) ⇒ dt = 3(cosx + sinx)dx
When, x = 0 ⇒ t = -3
x = π/4 ⇒ t = 0
I = 1/3 ∫-3 0 dt/(25 - t^2)
I = 1/3 ∫-3 0 dt/(5^2 - t^2)
I = 1/30 [ln((5+t)/(5-t))]-3 0
I = 1/30 (ln1 - ln(2/8))
I = (1/30)(-ln(1/4)) = (1/30)ln4 = (1/30)(2ln2) = (1/15)ln2